Question

已知命题p：关于x的不等式x2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝13x3?x2?ax+2在x∈[-1，1]上是

已知命题p：关于x的不等式x2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝13x3?x2?ax+2在x∈[-1，1]上是增函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵关于x的不等式x²-ax+1≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=a²-4≤0?-2≤a≤2；
∴命题p为真命题时，-2≤a≤2；
由函数f(x)＝

1

3

x3?x2?ax+2在x∈[-1，1]上是增函数，
得当x∈[-1，1]时，f′（x）=x²-2x-a＞0；
∵f′（x）在[-1，1]上单调递减，
∴f′（1）=-1-a＞0?a＜-1，
∴命题q为真命题时，a＜-1；
由复合命题真值表知，若“p且q”为假，“p或q”为真，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，

?2≤a≤2 a≥?1

?-1≤a≤2；
当q真p假时，

a＞2或a＜?2 a＜?1

?a＜-2．
综上a的取值范围为[-1，2]∪（-∞，-2）．