Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1＝an+1n为奇数2ann为偶数(n∈N*)，设bn=a2n-1．（I）求b2，b3，并证明：bn+

已知数列{an}满足：a1=1，an+1＝an+1n为奇数2ann为偶数(n∈N*)，设bn=a2n-1．（I）求b2，b3，并证明：bn+1=2bn+2；（II）①证明：数列{bn+2}为等比数列；②若a2k，a2k+1，9+a2k+2成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

（I）∵数列{a_n}满足：a₁=1，an+1＝

an+1n为奇数 2ann为偶数

(n∈N*)，设b_n=a_2n-1，
∴b₂=a₃=2a₂=2（a₁+1）=4，
b₃=a₅=2a₄=2（a₃+1）=10，
同理，b_n+1=a_2n+1=2a_2n=2（a_2n+1+1）=2（b_n+1）=2b_n+2．
（II）①b₁=a₁=1，b₁+2≠0，

bn+1+2

bn+2

＝

2bn+2+2

bn+2

＝2，
∴数列{b_n+2}为等比数列．
②由①知bn+2＝3×2n?1，
∴bn＝3×2n?1?2，
∴a2n+1＝3×2n?1?2，
a2n＝a2n?1+1＝3×2n?1?1，
∵a_2k，a_2k+1，9+a_2k+2成等比数列，
∴（3×2^k-2）²=（3-2^k-1-1）（3×2^k+8），
令2^k=t，得（3t-2）²=（

3

2

t?1）（3t+8），
整理，得3t²-14t+8=0，
解得t=

2

3

或t=4，
∵k∈N^*，∴2^k=4，解得k=2．