Question

在三角形ABC中(sinB+sinC+inA)(sinb+sinC-sinA)=18/5（sinBinC),求A的正弦值。

Answer 1

∵根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
∴sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
∴(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=18/5（sinBinC)
可化为(b/2R+c/2R+a/2R)(b/2R+c/2R-a/2R)=18/5(b/2R*c/2R)
(b/2R+c/2R)²-(a/2R)²=18/5*(bc/4R²)
(b+c)²/4R²-a²/4R²=18/5*(bc/4R²)
把4R²约去，得(b+c)²-a²=18/5*bc
b²+2bc+c²-a²=18/5*bc
b²+c²-a²=8/5*bc
根据余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/2bc=(8/5*bc)/2bc=4/5
∵三角形ABC
∴0°＜A＜180°
∴sinA＞0
sinA=√(1-cos²A)=√[1-(4/5)²]=3/5
∴A的正弦值为3/5