已知函数f(x)=ax^2/x-1(a∈R,x≠1) 1,若a=1,且x>1求函数f(x)的最小值 2,解关于x的不等式f(x)≥ax
2个回答
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解:1.∵a=1,x>1
∴f(x)=x²/(x-1)
=(x²-1+1)/(x-1)
=[(x+1)(x-1)+1]/(x-1)
=x+1+1/(x-1)
=x-1+1/(x-1)+2
≥2+2=4
等号仅当x-1=1/(x-1)时候成立,即x=2时。
又∵x=2>1
∴当x=2时,f(x)取得最小值4.
2.f(x)≥ax,(a∈R,x≠1)
ax²/(x-1)≥ax
(1)a=0,不等式化简得0≥0,恒成立,所以,x∈R且,x≠1
(2)a>0,①x=0,0≥0,成立。
②x>0,x/(x-1)≥1,解得,x>1
③x<0,x/(x-1)≤1,解得,x<0。
(3)a<0,①x=0,0≥0,成立。
②x>0,x/(x-1)≤1,解得,0<x<1
③x<0,x/(x-1)≥1,无解。
综上所述:a=0,x≠1
a>0,x≤0或,x>1
a<0,0≤x<1
∴f(x)=x²/(x-1)
=(x²-1+1)/(x-1)
=[(x+1)(x-1)+1]/(x-1)
=x+1+1/(x-1)
=x-1+1/(x-1)+2
≥2+2=4
等号仅当x-1=1/(x-1)时候成立,即x=2时。
又∵x=2>1
∴当x=2时,f(x)取得最小值4.
2.f(x)≥ax,(a∈R,x≠1)
ax²/(x-1)≥ax
(1)a=0,不等式化简得0≥0,恒成立,所以,x∈R且,x≠1
(2)a>0,①x=0,0≥0,成立。
②x>0,x/(x-1)≥1,解得,x>1
③x<0,x/(x-1)≤1,解得,x<0。
(3)a<0,①x=0,0≥0,成立。
②x>0,x/(x-1)≤1,解得,0<x<1
③x<0,x/(x-1)≥1,无解。
综上所述:a=0,x≠1
a>0,x≤0或,x>1
a<0,0≤x<1
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f(x)=ax²/(x-1) (a∈R, x≠1)
1 若a=1,且x>1求函数f(x)的最小值
a=1, f(x)=x²/(x-1)=[(x-1)² + 2(x-1) + 1]/(x-1)=(x-1) + 1/(x-1) + 2
当a>1时,x-1>0,1/(x-1)>0,
则有 (x-1) + 1/(x-1) ≧ 2(均值不等式:a>0, b>0, 则a+b≧2√ab;且,当a=b时“=”成立)
所以,f(x)=(x-1) + 1/(x-1) + 2 ≧ 2 +2=4
当且仅当(x-1)=1/(x-1),即x=2时,“=”成立,即f(x)取得最小值4.
2 解关于x的不等式f(x)≥ax
因为,f(x)-ax=ax²/(x-1) - ax=a[(x-1) + 1/(x-1) + 2] -ax=a/(x-1) + a= ax/(x-1)
所以,当ax/(x-1)≥0成立时,则已知不等式成立,
(1) a>0时,即等价于解x/(x-1)≥0,解得,x>1,或x≤0;
(2) a<0时,即等价于解x/(x-1)≤0,解得,0≤x1
(3)a=0时,“=”成立,原不等式成立。
1 若a=1,且x>1求函数f(x)的最小值
a=1, f(x)=x²/(x-1)=[(x-1)² + 2(x-1) + 1]/(x-1)=(x-1) + 1/(x-1) + 2
当a>1时,x-1>0,1/(x-1)>0,
则有 (x-1) + 1/(x-1) ≧ 2(均值不等式:a>0, b>0, 则a+b≧2√ab;且,当a=b时“=”成立)
所以,f(x)=(x-1) + 1/(x-1) + 2 ≧ 2 +2=4
当且仅当(x-1)=1/(x-1),即x=2时,“=”成立,即f(x)取得最小值4.
2 解关于x的不等式f(x)≥ax
因为,f(x)-ax=ax²/(x-1) - ax=a[(x-1) + 1/(x-1) + 2] -ax=a/(x-1) + a= ax/(x-1)
所以,当ax/(x-1)≥0成立时,则已知不等式成立,
(1) a>0时,即等价于解x/(x-1)≥0,解得,x>1,或x≤0;
(2) a<0时,即等价于解x/(x-1)≤0,解得,0≤x1
(3)a=0时,“=”成立,原不等式成立。
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