Question

求证已知函数fx是负无穷大到正无穷大上的增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)≥f(-a)+f

-b)，则a+b≥0

Answer 1

采用分类讨论的方法

把f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）记作条件P，a+b≥0记作条件Q

1. a，b都大于0，根据f（x）是R上的增函数可知:此时一定满足P且Q

2. a，b都等于0，f（0）=f（0），故满足P且Q

3. a，b都小于0，不满足P且Q，因为P为前提，故此情况舍去

4. a大于0，b小于0或a小于0，b大于0时，可能满足P且Q，故舍去

综上，得证

可以简单一点

(1)a+b≥0 →f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
因为a+b≥0所以a≥-b,b≥-a
又因为f(x)在R上为单调增函数
所以f(a)≥f(-b)     f(b)≥f(-a)
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
（2）f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)→a+b≥0
反证法，假设a+b<0,则a<-b,b<-a
又因为f(x)在R上为单调增函数
所以f(a)<f(-b)     f(b)<f(-a)
所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)与已知矛盾
故a+b≥0
即f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)的充要条件是a+b≥0