Question

设A<B<C,求Y=|X-A|+|X-B|+|X-C|的最小值。

Answer 1

解：分类讨论x的取值范围后整理如下：
3x-A-B-C，C≤x
y=<x-A-B+C，B≤x＜C
-x-A+B+C，A≤x＜B
-3x+A+B+C，x＜A
函数在[C，+∞)上单调递增，所以在[C，+∞)上最小值为2C-A-B；
在[B，C)上单调递增，最大值无限趋近于2C-A-B，最小值为C-A；
在[A，B)上单调递减，最小值无限趋近于C-A，最大值为B+C-2A；
在(-∞，A)上单调递减，最小值无限趋近于B+C-2A；
∴函数在R上不间断，函数最小值为C-A。
一般来说，这里y=|x-A|+|x-B|+|x-C|画出来像一个V字形，严格来说它是W型的函数，它有三个拐点
x=A、x=B、x=C，因为A＜B＜C，所以最小值一般在中间这个取得，即x=B时有最小值C-A。

Answer 2

得分情况讨论
1、当X大于等于C时；
此时，Y=3X-A-B-C
当X=C时，Y取最小值2C-A-B
2、当X大于等于B且小于C时；
此时，Y=X-A-B+C
当X=B时，Y取最小值C-A
3、当X大于等于A且小于B时；
此时，Y=-X-A+B+C
因为此时B取不到，所以Y没有最小值
4、当X小于A时；
此时，Y=-3X+A+B+C
因为此时A取不到，所以Y没有最小值
再比较以上两个局部的最小值哪一个更小即为函数的最小值
2C-A-B=C-A+C-B
而C>B,所以C-B>0，即2C-A-B>C-A
所以Y的最小值为C-A

Answer 3

用几何意义c-a