Question

已知函数f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0,a,b不全为零)的最小正周期为2,且f(1/4)=根号3,求f(x)最大值的取值范围

Answer 1

解：
f(x)=asinωx+bcosωx的最小正周期T=2π/w=2得w=π，
f(x)=asinπx+bcosπx
f(1/4)=√2/2*(a+b)=√3，
即a+b=√6，
f(x)最大值为√(a²+b²)
由于a²+b²≥(a+b)²/2=3，
所以√(a²+b²)≥√3，
即f(x)最大值的取值范围为[√3,+∞)。
O(∩_∩)O~

追问

a²+b²≥(a+b)²/2=3
这步怎么出来的

追答

a2+b2=(a2+b2+a2+b2)/2≥(a2+b2+2√ab)/2=(a+b)2/2。
最好记住这个公式。
用相减法证明这个更加简便。
O(∩_∩)O~

Answer 2

f﹙x﹚＝asinωx+bcosωx
＝√﹙a²＋b²﹚sin﹙ωx＋φ﹚ ﹙其中tanφ＝b／a﹚
最小正周期为 2π／ω＝2 , ∴ω＝π
原函数就是f﹙x﹚＝asinπx＋bcosπx
f﹙1／4﹚＝asin﹙π／4﹚＋bcos﹙π／4﹚＝﹙√2／2﹚﹙a＋b﹚＝√3
∴a＋b＝√6
函数的最大值为√﹙a²＋b²﹚
根据基本不等式[﹙a＋b﹚／2]²≤﹙a²＋b²﹚／2
a²＋b²≥3
所以原函数的最大值的取值范围为[√3， ＋∞﹚