Question

高中数学第十八题求解

Answer 1

第一问就不用了吧

追答

提示第二问，g(x)的值域是f(x)值域的子集

追问

？？

呃，你这里能不能帮忙在草稿纸算下呢

？

Answer 2

[一切学习问题就找精锐]

Answer 3

已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R，g（x）=x2+（a+2）x+1，若a＞0，且对任意x1∈[-1，2]．都存在x2∈（0，+∞），使得g（x1）=f（x2），求a的取值范围．

追答

根据题意得出f（x）=x2-alnx，a∈R，x2∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x2+（a+2）x+1，x1∈[-1，2]的值域为B，即B⊆A，分类讨论当a≤0时，②当a＞0时，利用最小值的关系，求解即可得出范围．

解：∵对任意x1∈[-1，2]．都存在x2∈（0，+∞），使得g（x1）=f（x2），
∴f（x）=x2-alnx，a∈R，x2∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x2+（a+2）x+1，x1∈[-1，2]的值域为B，
∴B⊆A
①当a≤0时，f（x）=x2-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），单调递增，
∴f（x）的值域为A=R，
∵g（x）=x2+（a+2）x+1，x∈[-1，2]的值域为B是一个闭区间，
∴B⊆A，
∴对任意x1∈[-1，2]．都存在x2∈（0，+∞），使得g（x1）=f（x2），
②当a＞0时，f（x）=x2-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），
f′（x）=2x-=，
可判断（0，）单调递减，（，+∞）单调递增，
∴f（x）min=f（）=-aln，
∴值域A=[-aln，+∞），
∵g（x）=x2+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，
x=-1-＜-1，
∴g（x）=x2+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，单调递增，
g（x）min=g（-1）=-a，
要满足B⊆A，只需-a≥-aln，即a≥2e3，
由①②得a的取值范围为：a≤0或a≥2e3．

【点评】

本题考查了两个函数值域的问题，运用导数，判断单调性，再求解值域，本题的关键是确定两个函数的值域的关系，从而得出不等关系．

其实呀，由单调性可知，这题的第二问等价于这样问：已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R，g（x）=x2+（a+2）x+1，若a＞0，且对于x1∈[-1，2]中g（x）min（max）都能找到与之对应的x2都存在；x2∈（0，+∞），使得g（x1）=f（x2），求a的取值范围．

追问

aln？

追答

？

alnx