Question

已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点： ①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD

已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点： ①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE的大小是否变化？若不变，请求出其度数。②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG的值为定值；②DG-CD的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求出其值。

Answer 1

解：①∠AFE的大小不变，其度数为60°，理由为： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， 又∵∠BAD+∠ADB=120°， ∴∠CBE+∠ADB=120°， ∴∠BFD=60°， 则∠AFE=∠BFD=60°； ②正确的结论为：DC+CG的值为定值，理由如下： 连接AG，如图2所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°， 又CG为∠ACB的外角平分线， ∴∠ACG=60°， 又∵∠ADG=60°， ∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四点共圆， ∴∠DAG+∠DCG=180°， 又∵∠DCG=120°， ∴∠DAG=60°， 即∠DAC+∠CAG=60°， 又∵∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠BAD=∠GAC， 在△ABD和△ACG中， ∵ ， ∴△ABD≌△ACG（ASA）， ∴DB=GC，又BC=10， 则BC=BD+DC=DC+CG=10， 即DC+CG的值为定值。