Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足 S n = n 2 +n(n∈ N * ) ．（I）求数列{a n }的通项公

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足 S n = n 2 +n(n∈ N * ) ．（I）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若 b n = 2 (n+1) a n ，求数列{b n }的前n项和T n ；（Ⅲ）若?n∈N * ，使T n ＜C成立，求实数C的取值范围．

Answer 1

（I）当n=1时，a 1 =S 1 =1+n=2． 当n≥2时洞碰，a n =S n -S n-1 =n 2 +n-[（n-1） 2 +n-1]=2n．当n=1时也成立． ∴ a n =2n(n∈ N * ) ． （II）∵ b n = 2 (n+1) a n = 2 2n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ． ∴数列{b n }的前n项和T n = (1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+ …+ ( 1 n - 1 n+1 ) = 1- 1 n+1 = n n+1 ． （III）若?n∈猜颤饥N * ，使T n ＜C成立?（T n ） min ＜C， ∵n≥1， T n =1- 1 n+1 ≥1- 1 1+1 = 1 2 ，穗返即 ( T n ) min = 1 2 ． ∴实数C的取值范围是 ( 1 2 ，+∞) ．