Question

如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE

如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．

Answer 1

因为AB是圆O的直径，所以∠APB=90°，从而∠BPC=90°．
在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE=EC，
从而BE=EP，因此∠EBP=∠EPB．
又因为B、P为圆O上的点，所以OB=OP，从而∠OBP=∠OPB．
因为BC切圆O于点B，所以∠ABC=90°，即∠OBP+∠PBE=90°，
从而∠OPB+∠EPB=90°，于是∠OPE=90°．
所以OP⊥PE．