Question

在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若f（x）在区间[1,2]上是减函数，则f（x）的单调区间

Answer 1

f(x+2)=f[2-(-x)]=f(-x)=f(x),
2是f(x)的一个正周期.
f(1+x)=f[2-(1+x)]=f(1-x).
y=f(x)关于x=1对称.
f(x)在区间[1,2]上是减函数,则在区间[0,1]上是增函数.
f(x)的单调增区间为[2k,2k+1], 单调减区间为[2k+1,2k+2], k=0,+-1,+-2,...

Answer 2

f(x)=f(2-x)，说明函数图像关于x=1对称，又因为此函数是偶函数，因此其图像又关于y轴对称。所以函数既然在y轴右侧有一个对称轴x=1，那么也一定会在y轴左侧有一个与x=1对称的对称轴x=-1，那么相应的，对称轴x=0，x=1也会有关于x=-1对称的对称轴，x=-1，x=0等也会有关于x=1对称的对称轴…………………………
因此此函数有无数个对称轴x=k（k为任意整数）。又因为该函数[1,2]上是减函数，故其单减区间为[2k-1,2k]，单增区间为[2k,2k+1]，k为任意整数