Question

如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE

1.求证DE与圆O相切；2.若圆o的半径为根号3，DE=3，求AE
图

Answer 1

证明：(1)
设圆心为O，可知O在AB中点，
连接OB、BE、DE
因为AB为直径，所以∠AEB为直角
则∠BEC也为直角
而DE为直角三角形CEB的斜边中线，
所以∠DEB=∠DBE
又知在直角三角形ABE中，
EO为斜边中线，所以∠OBE=∠OEB
而∠DBE+∠OBE=∠ABC=90°
所以∠DEB+∠OEB=90°
所以OE⊥DE
(2)
因为OE=根号3,DE=3
在直角三角形ODE中，由勾股定理的OD=2倍根号3
则∠DOE=∠DOB=60°
即∠EOA=60°
易得三角形AOE为正三角形，
AE=OE=根号3
证毕~

Answer 2

连OD，OE因为O是AB的中点，D是BC中点，所以OD平行于AC，所以角BOD等于角A，又因为角A等于角AEO，角AEO等于角EOD，所以角BOD等于角EOD，根据边角边定理，三角形BOD全等于三角形EOD，所以角OED是直角，所以DE与圆O相切。
因为OB为根号3，DE=3，因为根据勾股定理，OD等于两者平方和开平方，等于9加3开方，等于2倍根号3，所以角BDO等于30度，角BOD等于60度，所以角A和角AEO也等于60度，所以三角形AOE是等边三角形，AE等于圆o的半径根号3。
因为用的和平时格式不同，所以只好叙述，望原谅。
祝愉快！

Answer 3

解：(1)连接BE、OE。
∵AB为直径 ∴∠AEB=90°=∠BAC+∠ABE=∠BAC+∠ACB
∵∠BEC=90° 又∵D为BC中点 ∴DE=BD=DC，∠BED=∠EBD=90°-∠ABE=∠BAE=∠AEO
∵∠AEO+∠OEB=90° 又∵∠BED=∠AEO ∴∠BED+∠OEB=90°
∴DE与圆O相切
(2)由(1)得：DE=DB，AO=OE，且∠OAE=∠EBD ∴△OAE~△DBE
AE/BE=AO/BD=AO/DE=√(3)/3，BE=√(3)*AE……①
∵∠AEB=90° ∴由勾股定理：AE^2+BE^2=AB^2=(2*√(3))^2=12……②
联立①②得：AE^2+3*AE^2=4AE^2=12，AE^2=3
∵AE>0 ∴AE=√(3)

Answer 4

1、连接OE、BE得角AEB等于90°，所以三角形ABE相似三角形ABC,三角形AOE和三角形BOE均为等腰三角形，DE为直角三角形BEC的中线，所以三角形DBE为等边三角形；角BED=角DBE=角AEO,所以角DEB+角BEO=90°，即DE与圆O相切。
2、AE=√（2√3*2√3-3*3）=√3