Question

已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，an+1=2Sn+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3a

已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，an+1=2Sn+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3an+1，求数列{bnan}的前n项和Tn，并证明：1≤Tn＜94．

Answer 1

（1）由题意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，n≥2，
两式相减得a_n+1-a_n+1=2S_n-2S_n-1=a_n+1=2a_n，
则a_n+1=3a_n，n≥2，
所以当n≥2时，{a_n}是以3为公比的等比数列．
因为a₂=2S₁+1=2+1=3，

a2

a1

＝3，
所以，

an+1

an

=3，对任意正整数成立　{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由（1得知a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，

bn

an

=

n

3n?1

=n?（

1

3

）^n-1，
T_n=1+2×

1

3

+3?（

1

3

）²+…+n?（

1

3

）^n-1      ①

1

3

T_n=

1

3

+2?（

1

3

）²+…+（n-1）?（

1

3

）^n-1+n?（

1

3

）ⁿ    ②
①-②得

2

3

T_n=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1-n?（

1

3

）ⁿ=

1?( 1 3 )n

1? 1 3

-n?（

1

3

）ⁿ，
所以T_n=

9

4

-（

9

4

+

Answer 2

+1什么时候是下标？什么时候是单纯的计算？没有写清楚,无所适从。
我按我的理解来解答吧,下标我用中括号来表示。
a[n+1]=2Sn+1,
∴2Sn=a[n+1]-1,
∴2S[n-1]=an-1,
两边相减得:
2an=a[n+1]-an,
∴a[n+1]=3an,
即{an}是公比为3的等比数列。
∴an=a1*q⁽ⁿ⁻¹⁾=3⁽ⁿ⁻¹⁾。