Question

在△ABC中，已知tanC2=sin（A+B），给出以下四个论断：①tanA×cotB=1②1＜sinA+sinB≤2③sin2A+cos2B=1

在△ABC中，已知tanC2=sin（A+B），给出以下四个论断：①tanA×cotB=1②1＜sinA+sinB≤2③sin2A+cos2B=1 ④sin2A+sin2B+sin2C=2其中一定正确的是______（填上所有正确论断的序号）．

Answer 1

∵A+B+C=180°
∴sin（A+B）=sinC
又∵tan

C

2

=

sinC

1+cosC

=

sin(A+B)

1+cosC

=sin（A+B），
∴cosC=0
即C=90°
∴A+B=90°
故tanA×cotB=tanA²=1不一定成立，故①错误；
1＜sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）≤

2

，故②正确；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=1 不一定成立，故③错误；
sin²A+sin²B+sin²C=sin²A+cos²A+sin²C=2，故④正确；
故答案为：②④