如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.(1)说明四边
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.(1)说明四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B满足什...
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.(1)说明四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.
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解答:(1)证明:由题意知∠FDC=∠DCA=90°,
∴EF∥CA,
∴∠FEA=∠CAE,
∵AF=CE=AE,
∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA.
在△AEC和△EAF中,
∵
∴△EAF≌△AEC(AAS),
∴EF=CA,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
理由如下:∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴AC=
AB,
∵DE垂直平分BC,
∴∠BDE=90°
∴∠BDE=∠ACB
∴ED∥AC
又∵BD=DC
∴DE是△ABC的中位线,
∴E是AB的中点,
∴BE=CE=AE,
又∵AE=CE,
∴AE=CE=
AB,
又∵AC=
AB,
∴AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.
∴EF∥CA,
∴∠FEA=∠CAE,
∵AF=CE=AE,
∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA.
在△AEC和△EAF中,
∵
|
∴△EAF≌△AEC(AAS),
∴EF=CA,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
理由如下:∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴AC=
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∵DE垂直平分BC,
∴∠BDE=90°
∴∠BDE=∠ACB
∴ED∥AC
又∵BD=DC
∴DE是△ABC的中位线,
∴E是AB的中点,
∴BE=CE=AE,
又∵AE=CE,
∴AE=CE=
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又∵AC=
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∴AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.
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