Question

在线等,数列!在数列{an}中,an+1=an^2/(2an-2),n属于N (1) 若a1=9/4,设bn=log1/3[(an-2)/an]

求证:数列{bn}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式
(2) 若an>2,n≥2,n属于N,证明2<an<2+(a1-2)/2^(n-1)
求详解!!!!! 注意:an an+1 中的n,n+1 都是脚标 log那个是以1/3为底的对数

Answer 1

(1) a(n+1) - 2= (a(n) - 2)^2/(2a(n) - 2),
a(n+1) = a(n)^2/(2a(n) - 2),
以上两式相除并求底数为1/3的对数可得b(n+1) = 2b(n)，即{b(n)}是公比为2的等比数列。
由a(1)=9/4可得b(1)=2，所以b(n)=2^n，于是(a(n)-2)/a(n) = 3^(-2^n)，
从而求得a(n)=2/(1-3^(-2^n))。

(2) 因为a(n)>2为已知条件，所以只需证a(n)< 2+ (a(1)-2)/2^(n-1)即可。
因为a(n+1)-2= (a(n) - 2)^2/(2a(n) - 2), 所以(a(n+1)-2)/(a(n)-2) = (a(n)-2)/(2a(n)-2) < 1/2
于是 a(n)-2 < 1/2 * (a(n-1)-2),
a(n-1)-2 < 1/2 * (a(n-2)-2),
......
a(2) - 2< 1/2 * (a(1) - 2),
以上n-1个不等式同向相乘并化简可得a(n) - 2< (a(1) -2)/2^(n-1)，即a(n)< 2+ (a(1)-2)/2^(n-1)。