Question

齐次线性方程组什么情况下只有零解

Answer 1

系数矩阵的秩 = 未知量的个数(即系数矩阵的列数)
或 系数矩阵列满秩
或 系数矩阵的列向量组线性无关

追问

当a满足什么条件时，齐次线性方程组（ax1+x2+x3=0, x1+ax2+x3=0, x1+x2+ax3=0）,只有零解？这种题怎么做？

追答

因为是3个方程3个未知量, 所以它只有零解的充分必要条件是 系数行列式不等于0.
系数行列式 =
a 1 1
1 a 1
1 1 a
= (a+2)(a-1)^2
所以 a≠1 且 a≠-2.

Answer 2

用逆推法:
若线性方程组Ax=0只有0解，即x=0
令x=k=0，A={a1，a2...an}
齐次线性方程组
k1a1+k2a2+...+knan=0
容易看出表出系数k1=k2=..=kn=0
即n个m维列向量组{a1,a2...an}线性无关，也就是列满秩。
此时必有:秩r=n≤m