Question

高中数学，过抛物线焦点F的直线叫抛物线于A、B两点

过抛物线焦点F的直线叫抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。要详解，谢了。

Answer 1

设抛物线方程为y^2=2px(p>0),①则它的顶点为O(0,0),焦点F为（p/2,0),
设过F的直线为x=my+p/2,②与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),
把②代入①，y^2-2mpy-p^2=0,
y1+y2=2mp,y1y2=-p^2,③
x1=y1^2/(2p),
∴2x1y2+py1=y1^2*y2/p+py1=y1[y1y2/p+p]=0,
OA:y=(y1/x1)x交准线：x=-p/2于点D(-p/2,-py1/(2x1)),
∴DB的斜率=[y2+py1/(2x1)]/(x2+p/2)=0，
由③，y2≠0，
∴直线DB平行抛物线的对称轴（x轴）。