Question

在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|

在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|．给出下列命题：（1）若P（1，2），Q（sinα，2cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为3+5；（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为22；（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为12．其中为真命题的是（　　）A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）

Answer 1

（1）若P（1，2），Q（sinα，2cosα）（α∈R），
则d（P，Q）=|1-sinα|+|2-2cosα|≤1+|sinα|+2+2|cosα|，
而当α∈[0，

π

2

]，|sinα|+2|cosα|=

5

sin(α+θ)≤

5

，
∴d（P，Q）的最大值为3+

5

；①正确；
（2）若P，Q是圆x²+y²=1上的任意两点，当P，Q是直线y=x与x²+y²=1的交点时，则d（P，Q）的最大值为2

2

；②正确；
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为

1

2

．
设Q（x，y），B（1，3）
则d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x-1|+|y-3|=|x-1|+|2x-3|
而|x-1|+|2x-3|表示数轴上的x到1和

3

2

的距离2倍的之和，其最小值为

1

2

．
③正确．
故选：A．