Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y= 1 4 x 2 在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为

如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y= 1 4 x 2 在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线y= 1 4 x 2 有无其它公共点并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵A（0，1），B（0，-1）， ∴OA=OB．（1分） 又∵BQ ∥ x轴， ∴HA=HQ；（2分） （2）证明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP， ∵AR ∥ PQ， ∴∠RAH=∠PQH， ∴△RAH≌△PQH．（3分） ∴AR=PQ， 又∵AR ∥ PQ， ∴四边形APQR为平行四边形．（4分） ②设P（m， 1 4 m 2 ）， ∵PQ ∥ y轴，则Q（m，-1），则PQ=1+ 1 4 m 2 ． 过P作PG⊥y轴，垂足为G． 在Rt△APG中，AP= A G 2 +P G 2 = ( 1 4 m 2 -1) 2 + m 2 = ( 1 4 m 2 +1) 2 = 1 4 m 2 +1=PQ， ∴平行四边形APQR为菱形；（6分） （3）设直线PR为y=kx+b， 由OH=CH，得H（ m 2 ，0），P（m， 1 4 m 2 ）． 代入得： m 2 k+b=0 km+b= 1 4 m 2 ， ∴ k= m 2 b=- 1 4 m 2 ． ∴直线PR为 y= m 2 x- 1 4 m 2 ．（7分） 设直线PR与抛物线的公共点为（x， 1 4 x 2 ），代入直线PR关系式得： 1 4 x 2 - m 2 x+ 1 4 m 2 =0， 1 4 （x-m） 2 =0， 解得x=m．得公共点为（m， 1 4 m 2 ）． 所以直线PH与抛物线y= 1 4 x 2 只有一个公共点P．（8分）