Question

如图，几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ADEF为等腰梯形，AD∥EF，AD=2，

如图，几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ADEF为等腰梯形，AD∥EF，AD=2，AB=AF=1，∠DAF=60°．（Ⅰ）证明：AF⊥平面CDF；（Ⅱ）求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ADEF，CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF，∴CD⊥AF
又AD=2，AF=1，∠DAF=60°，
由余弦定理知DF=

3

，
∴AF²+DF²=AD²，∴AF⊥DF，
∵DF∩CD=D，
∴AF⊥平面CDF．（6分）
（Ⅱ）在等腰梯形ADEF中，EF=1，两底间的距离d＝

3

2

，VC?DEF＝

1

3

S△DEF×CD＝

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1＝

3

12

，
V_F-ABCD=

1

3

S_ABCD×d=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

，
∴V_ABCDEF=V_C-DEF+V_F-ABCD=