如图,已知:PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B,C,PD⊥AB于D,延长PD交AO的延长线于E,连接CE并延长,交⊙O
如图,已知:PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B,C,PD⊥AB于D,延长PD交AO的延长线于E,连接CE并延长,交⊙O于F,连接AF.(1)求证:PD?PE=PB?PC...
如图,已知:PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B,C,PD⊥AB于D,延长PD交AO的延长线于E,连接CE并延长,交⊙O于F,连接AF.(1)求证:PD?PE=PB?PC;(2)求证:PE∥AF;(3)连接AC,若AE:AC=1:2,AB=2,求EF的长.
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(1)证明:∵PA切⊙O于点A,
∴AO⊥PA.
∵PD⊥AB,
∴
=cos∠APE=
.
∴PA2=PD×PE…①
∵PBC是⊙O的割线,PA为⊙O切线,
∴PA2=PB×PC…②
联立①②,得PD?PE=PB?PC;
(2)证明:∵PD?PE=PB?PC(已证),
∴
=
,
∵∠BPD为公共角,
∴△BDP∽△EPC,
∴∠PBD=∠PEC,
∵四边形ABCF内接圆,
∴∠ABP=∠AFC,
∴∠AFC=∠PEC,
∴PE∥AP;
(3)解:∵AP是⊙O的切线,
∴∠PAB=∠PCA,
∵∠APB=∠CPA,
∴△PAB∽△PCA,
∴
=
…①,
∵∠PAE=∠ADP=90°,
∴∠APD+∠PAD=90°,
∠APD+∠AEP=90°,
∴∠PAB=∠AEP=∠FAE,
∵∠ABP=∠F,
∴△AEF∽△APB,
∴
=
,即
=
…②
联立①②,有
=
,
∴EF=AE×
=
×2=
.
∴AO⊥PA.
∵PD⊥AB,
∴
PA |
PE |
PD |
PA |
∴PA2=PD×PE…①
∵PBC是⊙O的割线,PA为⊙O切线,
∴PA2=PB×PC…②
联立①②,得PD?PE=PB?PC;
(2)证明:∵PD?PE=PB?PC(已证),
∴
PB |
PD |
PE |
PC |
∵∠BPD为公共角,
∴△BDP∽△EPC,
∴∠PBD=∠PEC,
∵四边形ABCF内接圆,
∴∠ABP=∠AFC,
∴∠AFC=∠PEC,
∴PE∥AP;
(3)解:∵AP是⊙O的切线,
∴∠PAB=∠PCA,
∵∠APB=∠CPA,
∴△PAB∽△PCA,
∴
AB |
AC |
PB |
PA |
∵∠PAE=∠ADP=90°,
∴∠APD+∠PAD=90°,
∠APD+∠AEP=90°,
∴∠PAB=∠AEP=∠FAE,
∵∠ABP=∠F,
∴△AEF∽△APB,
∴
EF |
PB |
AE |
AP |
EF |
AE |
PB |
PA |
联立①②,有
EF |
AE |
AB |
AC |
∴EF=AE×
AB |
AC |
1 | ||
|
2 |
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