Question

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAC

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ（0＜λ＜1）．若平面BEF⊥平面ACD，则λ的值为______．

Answer 1

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又∵

AE

AC

＝

AF

AD

＝λ（0＜λ＜1），
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴BE⊥EF，
又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

，AB=

2

tan60°=

6

∴AC=

7

，
由AB²=AE?AC得AE=

6

7

故当λ=

AE

AC

=

6

7

时，平面BEF⊥平面ACD
故答案为：

6

7