Question

设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

Answer 1

证明：

令g(x)=xf(x)，g'(x)=f(x)+xf'(x)
∵f(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导
∴g(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导
∵g(0)=0，g(1)=f(1)=0
∴根据罗尔中值定理知道，
存在ξ∈（0,1）使得g'(ξ)=0
∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0
∴f'(ξ)=-f(ξ) /ξ
命题得证

Answer 2

令g(x)=xf(x),0<=x<=1.
那么g(0)=g(1)=0，g'(x)=xf'(x)+f(x).
则根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0，即f'(ξ)=-f(ξ)/ξ.
[附上思路：根据结论考虑f'(x)+xf(x)，看它能否变成某个新函数的导数，容易观察得出xf(x)就是所需要的.]