Question

若函数f(x)=1/3x3+x2-ax在(1,+∞)上单调递增,(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是_

Answer 1

解由函数f(x)=1/3x3+x2-ax
求导得f'(x)=x^2+2x-a

由函数f(x)=1/3x3+x2-ax在(1,+∞)上单调递增
知f'(1)≥0
即1^2+2-a≥0..............................(1)
又由函数f(x)=1/3x3+x2-ax在(1,+∞)上单调递增,(1,2)上有零点
知f(1)＜0且f(2)＞0
即1/3+1-a＜0.........................(2)
8/3+4-2a＞0.........................(3)
由(1)(2)(3)
联立解得4/3＜a≤3

Answer 2

f′（x）=x² +2x-a
在区间(1,正无穷)上单调递增,则
f′（1）=3-a>0

a<3
f(1)=1/3+1-a=4/3-a
f(2)=8/3+4-2a=20/3-2a
在区间(1,正无穷)上单调递增,且在区间（1,2）上有零点，
则f(1)<0
a>4/3
f(2)>0
a<10/3
综合4/3<a<3