Question

问道高一数学题。

三角形ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，BF与CD交于点O。
求证：A,O,E三点在同一直线上，且AO:OE=BO:OF=CO:OD=2.

这道题不可能直接说因为O为三角形重心，所以AOE三点在同一直线上吧？这也太扯了

对这题我根本没思路，如果有坐标我还能根据向量共线来证明这道题，可问题没有坐标，怎么证明啊？

直接用初中的一般证明方法能证明不？怎么证？

Answer 1

这可根据面积的方法来做。

连接AE,AO,OE，DF

对于△FAB，∵DF为中线，∴S△DBF=S△ADF

对于△ADC，∵DF为中线，∴S△DEF=S△ADF

∴S△DFC=S△DFC    又∵△DOF为共有部分   ∴S△DOB=S△FOC

对于△BOC  ∵OE为中线，∴S△OBE=S△OEC

对于△AOB  ∵OD是中线，∴S△ODB=S△ODA   同理  S△OFC=S△OFA

又∵S△ODB=S△OFC     ∴S△OAD=S△OAF

∴S四边形AOEB=S四边形AOEC   又∵对于△ABC ，AE是中线，∴S△ABE=S△AEC

∴AE与AOE重合，即AOE三点共线

在△ABC中，D,F为中点∴中位线DF∴DF∥BC且DF=1/2BC

∴△DFO∽△DBO ∴OF/OB=DO/OC=DF/BC=1/2 同理EO/OA=1/2

追问

这也太麻烦了，有简单点的吗？

追答

简单的没想出来，其实这也很简单啊！只是不好表述，你到时候画个图，标个S1、S2……什么的就很简单了，我只是写的有点麻烦！相信我，这绝对是初中的方法！

Answer 2

证： 连接DF 连结AE交DC于O' 连结DE
因为D F分别为所在边中点
根据中位线定理或直接证△ADE与△ABC相似 得DF平行且相等1/2BC
所以△DOF相似于△COB
所以BO:OF=CO:OD=BC:FD=2
因为D E分别为所在边中点
同理在△AO'C与△EO'D中 AO':O'E=CO':O'D=2
因为C O O' D四点共线 而CO:OD=CO':O'D=2
所以点O'重合于点O
所以两问均得证

一级用户不能插图 图你就看4楼的吧

Answer 3

（1）把x=1带入，由题意得1≤a+b+c≤1，所以a+b+c=1
把﹙a﹢b﹢c﹚²＝1带入不等式中3ab+3bc+3ac＜a²＋b²＋c²＋2ac＋2bc＋2ab
2ab+2bc+2ac＜2a²＋2b²＋2c²,由基本不等式a²＋b²≥2ac,同理可得……（你别省略）
（2）把x=-1带入得a-b+c=0解得b=1/2,带入原式，f(x）的对称轴-b/2a=-1/4a,
因为f﹙-1）＜f（1），所以-1/4a＞0或-1/4a＜-1
解得a＜0抛物线开口向下，不符合x≦f（x）舍去，解得a≦1／4，把x=0带入解得c≤1／4
所以a=1/4,c=1/4,b=1/2,所以f(x)的表达式为……(自己写上吧）

追问

同志，看情况你是点错网页了吧。
估计你想回答的人标题和我一样，你点错了吧？
悲哀

Answer 4

有意思 我倒是很久没玩几何了
有点模糊 但是我看了一下 这个应该可以由中点得中线 中线得等角 等角与边相比 就能得等边 简单的说 就是 通过相似三角形

追问

具体点。
我初中就是几何学垃圾了。
现在才对这道题感觉没法下手。

Answer 5

这题就O点是重心吧 把重心的定义说出来 然后就直接得结论

追问

感觉好纠结。
应该没那么简单吧

追答

这题的题目就是一个重心呀 应该考的就是重心的定义

追问

高中会考这种定义题，太肤浅了吧。
初中差不多，这是高中课本上的题啊。