Question

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在三角形ABC中，角C为直角，AC＜BC，AC=mBC，CD垂直于AB，E是AC上的一个动点，CE=kAE，连BE交CD于G点，作EF垂直于BE，求EF/EG，即EF与EG的关系，用字母m,k表示

Answer 1

方法1
∵∠FEG=∠GDB=90°，
∴F、E、D、G共圆，
∴∠EFA=∠EGD=∠CGB，
∵∠BCG=∠A，
∴△AEF∽△BCG
∴BC/AE=BG/EF
∴BG/EG=S△BCG/S△ECG=(BCsin∠BCG)/(CEsin∠ECG)
=(BC*BC/AB)/(CE*AC/AB)=BC^2/(CE*AC)
∴BG=(EG*BC^2)/(CE*AC)
∴BG/EF=(EG*BC^2)/(CE*AC*EF)=BC/AE
∴EG/EF=(CE*AC)/(AE*BG)=km

方法2
证明 作EM⊥AB于M EN⊥CD于N
∵CD⊥AB
∴四边形EMDN是矩形
∴∠MEN=∠MEG+∠GEN=90° EN=MD
∵EF⊥BE
∴∠FEG=∠MEG+∠FEM=90°
∴∠FEM=∠GEN
∵∠FME=∠GNE=90°
∴⊿EFM∽⊿EGN
∴EF／EG=EM／EN
∵∠A=∠A ∠AME=∠ACB=90°
∴⊿AEM∽⊿ABC
∴AM/AC=EM/BC
∴EM=AM/m
∵∠AMD=∠ADC=90°
∴EM∥CD
∴AM/MD=AE/EC=1/k
∴EF/GE=AM/m*1/MD=1/m*AM/MD=1/km
∴EG/EF=km