Question

急急急！！高一数学题

已知函数f(x)=2mx方-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数M的取值范围是（ ）
A，（0，2） B，（0，8） C，（2，8） D，（-无穷，0）
请详细解答，写出详细解题过程，谢谢！！

Answer 1

题中要求至少有一个为正数，则反过来说就是其一个正数都没有，即两个函数都为非负数，再求其补集即可。
则有
当m=0时，有f(x)=-8x+1,g(x)=0,对于任意一个x不满足都为非负数，舍去。
当m>0时，有f(x)=2mx²-2（4-m）x+1=2mx²-4x+2mx+1=2m(x²+x)-4x+1<=0
对于任意一个x不满足，舍去。
当m<0时，有f（x）=2mx²-2（4-m）x+1=-（-2mx²+2（4-m）x-1）<=0
所以有4（2-m）²-8m<=0, => ....
综上所述，可得。。。。。（m的取值范围）
所以有对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是。。。。。（取上述m的取值范围的补集）

Answer 2

f(x)是二次函数，g(x)是一次函数
如果m=0
f(x)=-8x+1 g(x)=0
x>=1/8时，f(x)<=0 g(x)=0，不符合题意
如果m<0
x>=0时，g(x)=<0
二次函数f(x)开口向下，x→+∞ f(x)<0，不符合题意

如果m>0
x>0时，g(x)>0
f(x)开口向上，只需x<=0时，f(x)>0即可
f(x)对称轴为x=-b/2a=2(4-m)/4m=(4-m)/2m
x∈(-∞,(4-m)/2m] f(x)是递减函数
f(0)=1
①若(4-m)/2m>=0
当x∈(-∞,0]时，f(x)>=1
此时(4-m)/2m>=0
∵m>0
∴4-m>=0
0<m<=4
②若对称轴在y轴的左边(4-m)/2m<0，f(x)最小值必须大于0，才能使x<0时f(x)>0
(4-m)/2m<0
∵m>0
∴4-m<0
m>4
f(x)=2mx^2-2(4-m)x+1
=2m(x-(4-m)/2m)^2-(m^2-10m+16)/2m
f(x)最小值是-(m^2-10m+16)/2m>0
∵m>0
∴m^2-10m+16<0
(m-2)(m-8)<0
2<m<8
又∵m>4
∴4<m<8

综上所述
m<=0时，可以从图像判断出条件不成立
m>0时，f(x)对称轴在y轴右边，0<m<=4条件成立
f(x)对称轴在y轴左边，4<m<8条件成立
∴0<m<8

追问

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Answer 3

选C.
解：(排除法)
题目所给4个选项中任一个答案均无法使g(x)恒为正值，故只需考虑使f(x)恒为正值的m.
当m=1时，f(x)=2x²-6x+1=2(x-3)²-17，不能恒为正值，故m≠1，A、B被排除.
当m=4时，f(x)=8x²+1>0恒成立，即使 f(x)恒为正值，故选C.

Answer 4

2mx^2-2(4-m)x+1>0,(1)
mx>0.(2)
由（1），m>0时△/4=（4-m)^2-2m=m^2-10m+16<0,2<m<8;
m=1时（1）变为2x^2-6x+1>0,x<(3-√7）/2或x>(3+√7）/2，
（2）变为x>0,两者的并集为R,满足题设。
选B.