Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x 2 -3x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x 2 -3x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在 [ 3 2 ，+∞) 上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

（1）令t=1-x，则x=1-t ∵f（1-x）=x 2 -3x+3． ∴f（t）=（1-t） 2 -3（1-t）+3=t 2 +t+1． 即f（x）=x 2 +x+1． （2）由（1）得g（x）=f（x）-（1+2m）x+1=x 2 -2mx+2=（x-m） 2 +2-m 2 ，x∈ [ 3 2 ，+∞) 若m≥ 3 2 ，则当x=m时，g（x）取最小值2-m 2 =-2， 解得m=2，或m=-2（舍去） 若m＜ 3 2 ，则当x= 3 2 时，g（x）取最小值 17 4 -3m=-2， 解得m= 25 12 （舍去） 综上可得：m=2