Question

已知圆C1：x2+y2-4x+8y+11=0与C2：x2+y2-2x+6y+11+2m=0相交，另一圆C与x轴相切，且与圆C1关于C1、C2的公

已知圆C1：x2+y2-4x+8y+11=0与C2：x2+y2-2x+6y+11+2m=0相交，另一圆C与x轴相切，且与圆C1关于C1、C2的公共弦所在直线L对称，求m的值及圆C的方程．

Answer 1

圆C₁：x²+y²-4x+8y+11=0与圆C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0的公共弦方程为x-y+m=0，
圆C₁：x²+y²-4x+8y+11=0的标准方程为（x-2）²+（y+4）²=9，圆心C₁（2，-4），半径r=3，
圆C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0的标准方程为（x-1）²+（y+3）²=-1-2m，圆心C₂（1，-3），半径r=

?1?2m

，
则-1-2m＞0，即m＜?

1

2

．
∵圆C与圆C₁关于直线x-y+m=0对称，
∴圆C的半径R=3，
∵圆心C₁（2，-4）关于x-y+m=0对称的点为（-4-m，2+m），
∴C（-4-m，2+m），
∵圆C与x轴相切，
∴|2+m|=3，解得m=1或m=-5，
∴m=-5，此时圆C₂：（x-1）²+（y+3）²=9，半径R=3，
|C₁C₂|=

(2?1)2+(?3+4)2

＝

2

，
满足圆C₁与C₂相交，
∴m=-5，此时C（1，-3），
即圆C的方程为x-1）²+（y+3）²=9．