Question

f（x）在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f（0）=0（1）写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（

f（x）在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f（0）=0（1）写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在[-a，a]上至少存在一点η，使a3f″(η)＝3∫ a ?af(x)dx．

Answer 1

（1）直接套用公式可得：
f（x）=f（0）+f′（0）x+

1

2!

f′(0)+… + 

1

n!

f(n)(0)+

f(n+1)(ξ)

(n+1)

，
其中 ξ 在0和x之间．

（2）
由（1）可得：

∫

a ?a

f(x)dx=

∫

a ?a

f′(0)xdx+

∫

a ?a

x2

x!

f″(ξ)dx
=

∫

a ?a

x2

x!

f″(ξ)dx，
因为f（x）在[-a，a]上具有二阶联系偏导数

∫

a ?a

f′(0)xdx，
故f″（x）具有最大值和最小值，
设f″（x）最大值为M，最小值为m，
则 m≤f″（ξ）≤M，
所以：

m

2

∫

a ?a

x2dx ≤

∫

a ?a

f(x)dx=

1

2

∫

a ?a

x2f″(ξ)dx≤

M

2

∫

a ?a

x2dx，
即：

ma3

3

≤

∫

a ?a

f(x)dx≤

Ma3

3

，
即：m≤

3

a3

∫

a ?a

f(x)dx≤M，
因为 f″（x）连续，
由连续函数的介值定理可得，至少存在一点η∈[-a，a]，使得：
f″（η）=

3

a3

∫

a ?a

f(x)dx，
即：a3f″(η) ＝ 3

∫

a ?a

f(x)dx．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示