Question

设函数y=f（x）由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f（x）的极值

设函数y=f（x）由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f（x）的极值．

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

在方程两边同时对x求导一次，得到（3y²+2xy+x²）y'+（y²+2xy）=0，（1）
即

dy

dx

＝

?y2?2xy

3y2+2xy+x2

令

dy

dx

＝0及y³+xy²+x²y+6=0，得到函数唯一驻点x=1，y=-2．
在（1）式两边同时对x求导一次，得到
（（6yy'+4y+2xy'+4x）y'+（3y²+2xy+x²）y''+2y=0
把x=1，y=-2，y'（1）=0代入，得到y″(1)＝

4

9

＞0，
故函数在x=1处取得极小值y=-2．