Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+n-4（n∈N*）（1）求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+n-4（n∈N*）（1）求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设cn=anlog2（an-1），求数列{cn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n+n-4，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4
∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，从而a_n=2a_n-1-1即a_n-1=2（a_n-1-1）
∴数列{a_n-1}为等比数列
又a₁=S₁=2a₁-3，故a₁=3
因此an?1＝(a1?1)×2n?1＝2n
∴an＝2n+1
（2）由（1）可得Cn＝(2n+1)n＝n?2n+n
记An＝1×2+2×22+3×23+…+n?2n
∴2An＝1×22+2×23+…+(n?1)?2n+n?2n+1
两式相减可得：?An＝2+22+23+…+2n?n?2n+1
=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝?2+(1?n)?2n+1
∴An＝(n?1)?2n+1+2
∴Tn＝(n?1)?2n+1+2+

n(n+1)

2