Question

已知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R,均有f(x)·f(y)=1/2[f(x+y)+f(x-y)],且f(a)=0(a≠0),f(0)≠0

求证（1）f(x)是偶函数
（2）f(x)是周期函数
（3）f(2x)=2[f(x)]^2-1
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Answer 1

1.
当x=m,y=n时
f(m)•f(n)=(1/2)[f(m+n)+f(m-n)]
当x=n,y=m时
f(n)•f(m)=(1/2)[f(m+n)+f(n-m)]
所以
(1/2)[f(m+n)+f(m-n)]=f(n)•f(m)=(1/2)[f(m+n)+f(n-m)]
f(m-n)=f(n-m)=f[-(m-n)]
所以f(x)=f(-x),f(x)是偶函数.

2.
当y=0时.
f(x)•f(0)=(1/2)[f(x)+f(x)]=f(x)
f(0)=1
当y=a时，
f(x)•f(a)=(1/2)[f(x+a)+f(x-a)]=0
f(x+a)+f(x-a)=0
设x-a=z，
f(z+2a)+f(z)=0
所以f(x)=-f(x+2a)
所以f(x+2a)=-f(x+4a)
所以f(x)=f(x+4a)
以4a为周期。
3.
当y=x时，
f(x)^2=(1/2)[f(2x)+f(0)]=(1/2)f(2x)+1/2
2f(x)^2=f(2x)+1
即f(2x)=2f(x)^2-1

Answer 2

令x=y,y=x则
f(y)·f(x)=1/2[f(y+x)+f(y-x)]
f(x)=1/2[f(y+x)+f(y-x)]/f(y)
f(-x)=1/2[f(y-x)+f(y+x)]/f(y)
f(x)=f(-x)
所以f(x)是偶函数
不学太久了，所以只做出这一问，后边的忘记的。。。。。。。。。

Answer 3

你这问题没错吧！哪来的f(a）？