Question

【文科生做】已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与圆C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．

【文科生做】已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与圆C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．（1）当b=1时，求k的值； （2）求关于b和k的关系式．

Answer 1

（1）将圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
当b=1时，点M（0，1）在圆上，
故当且仅当直线l过圆心C时满足MP⊥MQ，
∵圆心坐标为（1，1），
∴将x=1，y=1代入得：k=1；
（2）由

x2+y2?2x?2y+1＝0 y＝kx

，
消去y，可得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2(1+k)

1+k2

，x₁x₂=

1

1+k2

，
由MP⊥MQ，
得到

MP

?

MQ

=0，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴x₁x₂+（kx₁-b）（kx₂-b）=0，即（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（1+k²）×

1

1+k2

-kb×

2(1+k)

1+k2

+b²=0，
当b=0时，此式不成立，
则b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

．