Question

如图，二次函数 的图象经过点D，与x轴交于A、B两点。 （1）求c的值；（2）如图①，设点C为

如图，二次函数 的图象经过点D，与x轴交于A、B两点。
（1）求c的值；（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；（3）设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由。（图②供选用）

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Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点D（ ） ∴ ∴c=6。 （2）过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，　 ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM ∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6 ∵抛物线为 ∴ ∵M是BD的中点 ∴ 设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点 ∴ 解得 ∴直线AC的解析式为 。 （3）存在．设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AQN中，易得AN= ，于是以A点为圆心，AB= 为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP。