Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：AF

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：AF⊥BE；（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF，
即AE=DF，
∵在△ABE和△DAF中，

AB＝AD ∠BAD＝∠ADC AE＝DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AF⊥BE；

（2）解：∵DG⊥AF，
∴∠DGA=90°，
∴∠AOB=∠DGA=90°，
∵在△ABO和△DAG中，

∠1＝∠2 ∠AOB＝∠DGA AB＝AD

，
∴△ABO≌△DAG（AAS），
∴AG=BO，
∴AO+GO=BO．