Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（1）求证：{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式an

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（1）求证：{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；（3）证明：对任意n∈N*，Sn+1≤4Sn．

Answer 1

（1）证明：由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4^n-1+n．
所以数列{a_n}的前n项和S_n=

1?4n

1?4

+

n(n+1)

2

=

4n?1

3

+

n(n+1)

2

．
（3）证明：对任意的n∈N^*，S_n+1-S_n=

4n+1?1

3

+

(n+1)(n+2)

2

?4[

4n?1

3

+

n(n+1)

2

]=?

1

2

（3n²+n-4）≤0，
所以不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．