Question

已知函数f(x)＝x+alnx+a+1x，函数g（x）=ax2-9a-1．（Ⅰ）当a=-3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a

已知函数f(x)＝x+alnx+a+1x，函数g（x）=ax2-9a-1．（Ⅰ）当a=-3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜-4时，A＝[13，3]．（i）求函数f（x）在A上的最大值；（ii）若存在x1，x2∈A，使得|f（x1）-g（x2）|＜6成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-3时，f(x)＝x?3lnx?

2

x

，函数的定义域为（0，+∞）．
f′(x)＝1?

3

x

+

2

x2

＝

x2?3x+2

x2

，
由f^′（x）＞0，得x²-3x+2＞0，所以x＜1或x＞2，则当1＜x＜2时f^′（x）＜0，
所以函数的增区间为（0，1），（2，+∞）．减区间为（1，2）．
（Ⅱ）f′(x)＝1+

a

x

?

a+1

x2

＝

x2+ax?a?1

x2

=

(x+a+1)(x?1)

x2

，
因为a＜-4，所以-a-1＞3，
所以在（0，1），（-a-1，+∞）上函数为增函数，在（1，-a-1）上为减函数，
（i）由函数的单调性知，函数在[

1

3

，1]上增，在[1，3]上减
所以函数f（x）在A上的最大值为f（1）=1+a+1=a+2；
（ii）对于函数g（x）=ax²-9a-1，因为a＜-4，所以其对称轴方程为x=0，函数g（x）在[

1

3

，3]上为减函数，
所以其值域为[?1，?

80

9

a?1]，
因为当a＜-4时?

80

9

a?1＞3a?aln3+

10

3

，所以存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立，
只需|3a?aln3+

10

3

?(?1)|＜6成立即可，即?

31

3(3?ln3)

＜a＜

5

3(3?ln3)

，
所以，若存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立的实数a的取值范围是(?

31

3(3?ln3)

，?4)．