(1)写出一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件(2)二次函数y=ax2+bx+c的系数在集合A=
(1)写出一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件(2)二次函数y=ax2+bx+c的系数在集合A={-2,-1,0,1,2,3}中取值,且a,b,...
(1)写出一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件(2)二次函数y=ax2+bx+c的系数在集合A={-2,-1,0,1,2,3}中取值,且a,b,c互不相等,则共有多少条抛物线与x轴的正、负半轴都有交点?(3)在(2)的条件下,任取一条抛物线它恰与x轴的正、负半轴都有交点的概 率为多少?(要求列出算式并写出结果,若无算式或算式不正确均不给分)
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(1)一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是:ac<0
先看充分性:当ac<0时,方程根的判别式△=b2-4ac>0,
并且方程ax2+bx+c=0的两根之积为x1?x2=
<0,因此方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的两根;
再看必要性:当一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根时,不妨设x1<0且x2>0
则有两根之积为x1?x2=
<0,所以ac<0.
综上所述,可得一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是:ac<0.
(2)抛物线与x轴的正、负半轴都有交点,可得方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由(1)可知a、c的取值应该是一正一负.
因此先取a、c的值:在-2、-1中取一个数,再在1、2、3中取一个数,分别作为a、c的值,共2×3×2=12种取法;
再取b的值,有4种取法,所以a、b、c的取法一共有12×4=48种取法.
综上所述,共有48条抛物线与x轴的正、负半轴都有交点.
(3)因为a≠0,所以a的取值有-2,-1,1,2,3共五种取法,
再给b取值:由-2,-1,1,2,3剩下的4个值,再加上0,也有五种取法,
最后给c取值,共有4种取法.因此总共有5×5×4=100种不同的a、b、c的取法.
而根据(2)知,符合题意的a、b、c的取法共有48种,
所以任取一条抛物线它恰与x轴的正、负半轴都有交点的概率为P=
=0.48
先看充分性:当ac<0时,方程根的判别式△=b2-4ac>0,
并且方程ax2+bx+c=0的两根之积为x1?x2=
c |
a |
再看必要性:当一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根时,不妨设x1<0且x2>0
则有两根之积为x1?x2=
c |
a |
综上所述,可得一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是:ac<0.
(2)抛物线与x轴的正、负半轴都有交点,可得方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由(1)可知a、c的取值应该是一正一负.
因此先取a、c的值:在-2、-1中取一个数,再在1、2、3中取一个数,分别作为a、c的值,共2×3×2=12种取法;
再取b的值,有4种取法,所以a、b、c的取法一共有12×4=48种取法.
综上所述,共有48条抛物线与x轴的正、负半轴都有交点.
(3)因为a≠0,所以a的取值有-2,-1,1,2,3共五种取法,
再给b取值:由-2,-1,1,2,3剩下的4个值,再加上0,也有五种取法,
最后给c取值,共有4种取法.因此总共有5×5×4=100种不同的a、b、c的取法.
而根据(2)知,符合题意的a、b、c的取法共有48种,
所以任取一条抛物线它恰与x轴的正、负半轴都有交点的概率为P=
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