Question

如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC、BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置上时

如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC、BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置上时，图中两个弯月形AEC和BFC的面积之和最大？

Answer 1

∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形，
根据勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
S_阴影=S_半圆AEC+S_半圆BCF+S_△ABC-S_半圆ACB
=

1

2

?(

AC

2

)2π+

1

2

?(

BC

2

)2π+

1

2

AC?BC-

1

2

?(

AB

2

)2π
=

π

8

（AC²+BC²-AB²）+

1

2

AC?BC
=

1

2

AC?BC，
则当C为

AB

中点时，AC=BC，此时阴影部分面积最大．