Question

（1）求函数y=x2?2x+1x?2 （x＜2）的最大值（2）函数y=loga（x+3）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点

（1）求函数y=x2?2x+1x?2 （x＜2）的最大值（2）函数y=loga（x+3）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，求1m+2n的最小值．

Answer 1

（1）∵x＜2，
∴2-x＞0，
∴y=

x2?2x+1

x?2

=

(x?2)2+2(x?2)+1

x?2

=-[（2-x）+

1

2?x

]+2≤-2

(2?x)× 1 2?x

+2=0，
当且仅当2-x=

1

2?x

，即x=1时取等号，
∴函数y=

x2?2x+1

x?2

  （x＜2）的最大值为0；
（2）∵函数y=log_a^（x+3）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
∴A（-2，-1），
又∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又∵mn＞0，
∴

1

m

+

2

n

＝

2m+n

m

+

4m+2n

n

=2+

n

m

+

4m

n

+2≥4+2?

n m ? 4m n

＝8，
当且仅当m＝

1

4

，n＝

1

2

时取等号，
∴

1

m

+

2

n

的最小值为8．