Question

在平面直角坐标系中，点B（0，4），C（-5，4），点A是x轴负半轴上一点，S四边形AOBC=24．（1）线段BC的长

在平面直角坐标系中，点B（0，4），C（-5，4），点A是x轴负半轴上一点，S四边形AOBC=24．（1）线段BC的长为______，点A的坐标为______；（2）如图1，BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，BM交CM于点M，试给出∠CMB与∠CAO之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P是在直线CB与直线AO之间的一点，连接BP、OP，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，BN交ON于N，请依题意画出图形，给出∠BPO与∠BNO之间满足的数量关系式，并说明理由．

Answer 1

（1）∵点B（0，4），C（-5，4），
∴BC=5，
S_{四边形AOBC}=

1

2

（BC+OA）?OB=

1

2

（5+OA）?4=24，
解得OA=7，
所以，点A的坐标为（-7，0）；

（2）∵点B、C的纵坐标相同，
∴BC∥OA，
∴∠ACB=180°-∠CAO，
∠CBO=90°，
∵BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，
∴∠MCB=

1

2

（180°-∠CAO）=90°-

1

2

∠CAO，
∠MBC=

1

2

∠CBO=

1

2

×90°=45°，
在△MBC中，∠CMB+∠MCB+∠MBC=180°，
即∠CMB+90°-

1

2

∠CAO+45°=180°，
解得∠CMB=45°+

1

2

∠CAO；

（3）①如图1，当点P在OB左侧时，∠BPO=2∠BNO．
理由如下：在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°-∠BPO，
∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠NBP+∠NOP=

1

2

（180°-∠PBO-∠POB），
在△NOB中，∠BNO=180°-（∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB），
=180°-[

1

2

（180°-∠PBO-∠POB）+∠PBO+∠POB]，
=90°-

1

2

（∠PBO+∠POB），
=90°-

1

2

（180°-∠BPO），
=

1

2

∠BPO，
∴∠BPO=2∠BNO；

②如图2，当点P在OB右侧时，∠BNO+

1

2

∠BPO=180°．
理由如下：∵BC∥OA，
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，
∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠PBN+∠PON+

1

2

∠BPO=

1

2

×360°=180°，
∴∠PBN+∠PON=180°-

1

2

∠BPO，
在四边形BNOP中，∠BNO=360°-∠PBN-∠PON-∠BPO=360°-（180°-

1

2

∠BPO）-∠BPO=180°-

1

2

∠BPO，
∴∠BNO+

1

2

∠BPO=180°．