Question

（2013?朝阳区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y轴分别交于点A、B，且A（-2，0），B（0，

（2013?朝阳区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y轴分别交于点A、B，且A（-2，0），B（0，1），在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取B1B2=BB1，过点B2分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3=B1B2，过点B3分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A3、C3，得到矩形OA3B3C3；…则第3个矩形OA3B3C3的面积是______；第n个矩形OAnBnCn的面积是______（用含n的式子表示，n是正整数）．

Answer 1

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点A（-2，0），B（0，1）在直线AB上，
∴

?2k+b＝0 b＝1

，解得

k＝ 1 2 b＝1

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+b，
∴AB=

(?2?0)2+(0?1)2

=

5

，
设B₁（x₁，

1

2

x₁+b），B₂（x₂，

1

2

x₂+b），B₃（x₃，

1

2

x₃+b）的坐标，
∵BB₁=AB，B₁B₂=BB₁，B₂B₃=B₁B₂，
∴（x₁-0）²+（

1

2

x₁+1-1）²=（

5

）²，解得x=2或x=-2（舍去），
∴B₁（2，2），
同理可得B₂（4，3），B₃（6，4），
∴S_{矩形OA1B1C1}=2×2=2×（1+1）=4；
S_{矩形OA2B2C2}=4×3=2×2×（2+1）=12；
S_{矩形OA3B3C3}=6×4=2×3×（3+1）=14，
∴第n各矩形的面积=2n（n+1）=2n²+2n．
故答案为：24；2n²+2n．