如图，在三棱柱△ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=π3（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC
如图，在三棱柱△ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=π3（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱CC1（不包含端点C...
如图，在三棱柱△ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=π3（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱CC1（不包含端点C，C1上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AB=2，求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值．
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（Ⅰ）证明：因为AB⊥侧面BB1C1C，所以AB⊥BC1，
在△BCC1中有BC=1，BB1=2，∠BCC1=
所以由余弦定理可得：BC1=
=
．
故有 BC2+C1B2=C1C2，
所以C1B⊥BC．
又因为BC∩AB=B，且AB，BC?平面ABC，
所以C1B⊥平面ABC．
（II）以BA为z轴，BC为x轴，BC′为y轴，建立空间直角坐标系，所以B（0，0，0），C（1，0，0），C′(0，
，0)，B′(?1，
，0)
设E（x，y，0），A（0，0，m），所以
＝(?1，
，0)，
＝(x?1，y，0)，
设
＝λ
则E(1?λ，
λ，0)（0＜λ＜1）
故
＝(1?λ，
λ，?m)，
＝(2?λ，
(1?λ)，0)
故
?
＝4λ2?6λ+2＝0?λ=1（舍）或λ＝
故E为CC′中点．
（III）由题设得，A(0，0，
)，A′(?1，
，
)，E(
，
，0)，
所以
＝(
，
在△BCC1中有BC=1，BB1=2，∠BCC1=
| π |
| 3 |
所以由余弦定理可得：BC1=
1+4?2×2×cos
|
| 3 |
故有 BC2+C1B2=C1C2，
所以C1B⊥BC．
又因为BC∩AB=B，且AB，BC?平面ABC，
所以C1B⊥平面ABC．
（II）以BA为z轴，BC为x轴，BC′为y轴，建立空间直角坐标系，所以B（0，0，0），C（1，0，0），C′(0，
| 3 |
| 3 |
设E（x，y，0），A（0，0，m），所以
| CC′ |
| 3 |
| CE |
设
| CE |
| CC′ |
则E(1?λ，
| 3 |
故
| AE |
| 3 |
| B′E |
| 3 |
故
| AE |
| B′E |
| 1 |
| 2 |
故E为CC′中点．
（III）由题设得，A(0，0，
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
所以
| AE |
| 1 |
| 2 |
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