（2013?广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为
（2013?广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是...
（2013?广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=45，求BF的长．
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解答：
（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；
（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=
=
，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=
=
，
∴AE=
，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴
=
，即
=
，
∴BF=
．
（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；
（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=
| AD |
| AB |
| 4 |
| 5 |
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=
| AE |
| AD |
| 4 |
| 5 |
∴AE=
| 32 |
| 5 |
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴
| OD |
| AE |
| FO |
| FA |
| 5 | ||
|
| BF+5 |
| BF+10 |
∴BF=
| 90 |
| 7 |
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