Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求二面角A-BC-F的余弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：取CE的中点G，连接FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．…（2分）
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．又DE=2AB，
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．…（4分）
（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．…（6分）
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．…（7分）
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（3）解：过A作直线l⊥面ABF，以A为原点，
分别以直线AF、l、AB分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系（如图），设AD=2，
则A（0，0，0），B（0，0，1），C（

3

，-1，0），F（

3

，0，0），
∴

AB

=（0，0，1），

AC

=（

3

，?1，0），

BF

＝(

3

，0，?1)，

CF

＝(0，1，0)，…（9分）
设平面ABC的法向量为

n

＝(x1，y1，z1)，平面FBC的法向量为

m

＝(x2，y2，z2)，
由

n ⊥ AB n ⊥ AC

，得

z1＝0 3 x1?y1＝0

，令x₁=1得：

n

＝(1，

3

，0)
同理可得：