Question

若a∈R+,b∈R+,a+b=1,则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值为 要详细解答

Answer 1

最小值为25/2
解1：
a+b=1>=2√ab
ab<=1/4
原式即证：a^2+2+1/a^2+b^2+2+1/b^2>=25/2
=>(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)>=17/2
又2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1
1/a^2+1/b^2>=2/ab>=8
所以(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)>=1/2+8=17/2
a=b取等
这个题方法很多
解2柯西不等式
=>(1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b）^2]>=(a+b+1/a+1/b)^2=(1+1+b/a+1+a/b)^2>=(3+2)^2=5
解3琴生不等式
构造f(x)=(x+1/x)^2容易知f(x)下凸
所以f(a)+f(b)>=2f[(a+b)/2)]=25/2
推广到n元i从1到n，ai>0,∑ai=1,求证∑(ai+1/ai)^2>=(n^2+1)^2/n
参考http://zhidao.baidu.com/question/299997519.html

Answer 2

最小值为25/2
解1：
a+b=1>=2√ab
ab<=1/4
原式即证：a^2+2+1/a^2+b^2+2+1/b^2>=25/2
=>(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)>=17/2
又2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1
1/a^2+1/b^2>=2/ab>=8
所以(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)>=1/2+8=17/2
a=b取等
这个题方法很多