Question

如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会

如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由．（2）试说明AE∥BC的理由．（3）如图（2），将（1）中的点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形．请问是否仍有AE∥BC？请说明理由．（4）将（1）中的点D运动到边AB的延长线上，仍向上作等边△EDC，连接AE．请按要求画出图形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE．
∴在△DBC和△EAC中，

DC＝EC ∠BCD＝∠ACE BC＝AC

∴△DBC≌△EAC（SAS）．

（2）∵△DBC≌△EAC，
∴∠DBC=∠EAC=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）；

（3）结论：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中，

DC＝EC ∠BCD＝∠ACE BC＝AC

，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC；

（4）成立；
∵同（3）易证△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∵∠CBD+∠ABC=180°，∠ABC=60°，
∴∠CAE=∠CBD=120°，
∴∠EAB=∠EAC-CBA=60°，
∴∠EAB=∠ABC=60°，
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）．